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Download e-book for iPad: Additive Zahlentheorie: Erster Teil Allgemeine by Hans-H. Ostmann

By Hans-H. Ostmann

ISBN-10: 366211030X

ISBN-13: 9783662110300

ISBN-10: 3662110318

ISBN-13: 9783662110317

Bereits seit längerer Zeit hat sich die additive Zahlentheorie als gesonderter Zweig innerhalb der Zahlentheorie herausgebildet; aber erst in den letzten Jahrzehnten hat dieses Gebiet neue Antriebe erhalten. In der klassischen additiven Zahlentheorie waren die Untersuchungs­ objekte im wesentlichen solche Fragestellungen, die an ganz spezielle Zahlenmengen geknüpft sind, wie etwa das GOLDBAcHsche oder das WARINGSche challenge. Diese bei den Probleme waren es aber auch, die den Anstoß zu einer neuen Entwicklung in der additiven Zahlentheorie gaben, als 1930 SCHNIRELMANN in seiner fundamentalen Arbeit "über additive Eigenschaften von Zahlen" [lJ einen neuen Zugang zu den ge­ nannten Problemen fand. SCHNIRELMANN entwickelte nämlich zunächst eine Theorie, die ganz von der speziellen Natur der Primzahlen bzw. der k-ten Potenzen absah und sich allgemein auf Mengen natürlicher Zahlen bezog. Jeder solchen Menge wird eine reelle Zahl, die "Dichte" zuge­ ordnet, die in gewissem Sinn ein Maß dafür ist, welcher Anteil aus der Gesamtheit aller natürlichen Zahlen der gegebenen Menge angehört. An Stelle der arithmetischen Natur der Zahlenmenge tritt additionally ein in dieser Weise zu verstehender metrischer Gesichtspunkt. Indem ferner noch die Summe solcher Mengen eingeführt wurde, zeigte sich, daß bereits in großer Allgemeinheit wesentliche Aussagen gemacht werden konnten. In Anschluß an SCHNIRELMANN hat diese allgemeine Theorie der Zahl­ mengen immer neue Impulse erhalten; somit schien für den vorliegen­ den Bericht ziemlich zwangsläufig eine grobe Gliederung durch die Stichworte "Summe", "Dichte", bzw. "spezielle Mengen" gegeben zu sein.

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Mengen mit Relativnullen. 3. (19) besitzen Mengen mit Relativnullen jedoch stets sowohl unverkürzbare Zerlegungen in endlich viele als auch solche in unendlich viele primitive Summanden, wie sich leicht aus ihrer allgemeinen sehr einfachen Struktur ergibt, die zunächst abgeleitet werden soll. Man bestätigt leicht: Satz 1. FürJ"ede Relativnull f)W/:gilt 0 E f)W/:. Vereinigung und Summe von Relativnullen sowie J"ede die Null enthaltende Teilmenge einer solchen ist wieder Relativnull. Mit f)W/: ist auch d X f)W/: für J"edes ganze d > 0 Relativnull (so daß m unendlich ist).

Hingegen bedeute p (c; ~1' ~2' ••• ) die Anzahl der Darstellungen (7) ohne Berücksichtigung der Anordnung - Partitionen genannt. Für Argumente c' EE (t sei hier wie auch für die weiterhin auftretenden Funktionen der Funktionswert gleich Null. 00 Gibt es bez . =1 ~v ein a, das in unendlich vielen ~v enthalten ist, so wird k (n; ~l> ~2' ••• ) nicht mehr für alle n sinnvoll; z. B. wäre schon k (a; ~1' ~2' ••• ) unendlich. Man erkennt leicht: Ist av 1 das kleinste positive Element von ~. I ~. l = 1'=1 "-+00 00 ist.

N-2 n-k+l 54 7. Anzahlfunktion. Kompositionen. Partitionen. setzt man ferner c = k3 n-1• so gilt für 0 -00 p (n. k) 1(n _1) k=O(VO) ki c 2" = hm e = 1; . coo+O k - 1 die weitere Verschärfung! siehe bei SZEKERES [1]. Aus (19) folgt ganz entsprechend für die Anzahl der Partitionen. deren größter Summand genau gleich k ist: 1 (n-l) n"-l Satz 10. k]) .......

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by Kenneth
4.5

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